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亚里士多德的三段论-第26部分
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以Ｌ起始的命题，或者它的等值式，称为“必然命题”。
以Ｍ起始的命题，或者它的等值式，称为“或然命题”。
非模态命题称为“实然命题”。
这些现代的术语和符号将帮助我们给予亚里士多德的命题的模态逻辑一个清晰的说明。
“必然”
和“可能”
这两个模态名词以及它们的相互关系，是最为重要的。
亚里士多德在《解释篇》中错误地断定了：可能性蕴涵着非必然性，以我们的术语表示就是：（ａ）如果ｐ是可能的，那末，ｐ就不是必然的。
①后来他又看到，这不可能是正确的，因为他承认必然蕴涵着可能性，也就是说：（ｂ）如果ｐ是必然的，那末，ｐ是可能的，而从（ｂ）和（ａ）依靠假言三段论就能推出：（ｃ）如果ｐ是必然的，那末，ｐ就不是必然的；而这是荒
①《解释篇》，１３，２ａ１５，“从命题‘那是可能的’推出‘那是偶然的’，而反过来也是一样。
它还推出‘那不是不可能’和‘那不是必然的’“。
…… 202
０９１第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
谬的。
①经过对问题的深入考究，亚里士多德正确地陈述了：（ｄ）如果ｐ是可能的，那末，非ｐ就不是必然的，②但是他并没有在《解释篇》的正文中改正自己的上述错误。
这种改正是在《前分析篇》中作出的，那里可能性对必然性的关系具有一种等值形式：（ｅ）
ｐ是可能的——当且仅当——非ｐ不是必然的。
③我由此推想，另外一种关系，即必然性对可能性的关系，（这种关系在《解释篇》中陈述为一种蕴涵式④）同样表示一种等值式，并且可以给以这样的形式：（ｆ）ｐ是必然的——当且仅当——非ｐ不是可能的。
如果我们以Ｑ⑤标志函子“当且仅当”
，将它放在它的主目之前，并且以Ｎ标志“非”
，那末，我们就可以用符号的形式表示（ｅ）和（ｆ）的关系：
①《解释篇》，１３，２ｂ１，“因为，当必然有一事物的时候，就可能有它”
……
１４，“从命题‘那是可能的’推出‘那不是不可能的’，而从后者又推出‘那不是必然的’。
因此，就出现这样的情况：那一定必然有的东西，不必一定有，而这是荒谬的。“
②同上，２２ｂ２，“因此，剩下的只能是：从命题‘那是可能的’推出命题‘那并非必然不是的’”。
③《前分析篇》，ｉ。
１３，３２ａ２５，“（表达式）
‘可能属于’和‘不是不可能属于’和‘不是必然不属于’或者是同一的，或者从一个推出另一个。“
④⑤ 《解释篇》，１３，２ａ２０，“从命题‘那不能不是’或‘那并非偶然不是’推出命题‘那必然是’和‘那不可能不是’”。
⑤平常我用Ｅ标志等值，但由于这个字母在三段论中已经具有其他意义，我引了（第１３５页）字母Ｑ标志等值。
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３８。基本模态逻辑A １９１
１。
ＱＭｐＮＬＮｐ，即Ｍｐ——当且仅当——ＮＬＮｐ，２。
ＱＬｐＮＭＮｐ，即Ｌｐ——当且仅当——ＮＭＮｐ。
上述公式对任何模态逻辑系统都是基本的。
３８。基本模态逻辑A模态逻辑的两个著名的经院哲学原则：Ａｂ
ｏCｐｏｒｔｅｒｅａｄｅｓｅ
ｖａｌｅｔｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｉａ和Ａｂｅｓｅａｄｐｏｓｅ
ｖａｌｅｔｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｉａ①已为亚里士多德所知，但是没有为他明确地表述出来。
第一个原则用我们的符号标记是这样表达的（Ｃ是函子“如果——那末”的符号）
：３。
ＣＬｐ，即：如果ｐ是必然的，那末ｐ。
第二个原则读为：４。
ＣｐＭｐ，即：如果ｐ，那末，ｐ是可能的。
从《前分析篇》的一段引文中②可以看出，亚里士多德是知道从实然的否定结论“非ｐ”即Ｎｐ，可以推断出或然的结果“非ｐ是可能的”
，即ＭＮｐ。
因此，我们就有了ＣＮｐＭＮｐ。
亚历山大注释这段引文时陈述了一个普遍规则：存在蕴涵着可能，即ＣｐＭｐ，但不能反转过来，也就是说ＣＭｐｐ是被排
①从必然的可以正确地推断出是存在的，并从存在的可以正确地推断出是可能的。
②《前分析篇》，ｉ。
１６，３６ａ１５，“而显然‘不属于’的这种可能性能被推断出来，因为‘不属于’的事实被推断了”。
这里∈‘D∈σθαι表示“可能”
，而不F M L是“偶然”。
…… 204
２９１第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
斥的①。｜Qī＋shū＋ωǎng｜
如果我们以星号标志被排斥的表达式，那末我们得出公式：②
P５。
ＣＭｐｐ，即：如果ｐ是可能的，那末ｐ——是被排斥的。
亚历山大也陈述了关于必然性的相应公式。
他说，必然性蕴涵着存在，即ＣＬｐ，但不能反转过来，也就是说ＣｐＬｐ是被排斥的。
③这样我们就得出另一个被排斥的表达式：P６。
ＣｐＬｐ，即：如果ｐ，那末ｐ是必然的——是被排斥的。
公式１—６为传统逻辑所接受，并且，据我所知，也为现代逻辑所接受。
但是这些公式对揭示Ｍｐ和Ｌｐ的模态函项的特性来说是不充分的，因为，如果我们将Ｍｐ解释为永真命题，即“ｐ是真的”
（“ｖｅｒｕｍｏｆ
ｐ“）
，而将Ｌｐ解释为永假命题，即“ｐ是假的”
（“ｆａｌｓｕｍｏｆ
ｐ“）
，上面所有的公式都是可满足的。
采用这种解释，则建立在公式１—６之上的系统就不复是模态逻辑。
因此，我们不能断定Ｍｐ，即认为所有的或然命题为真，也不能断定ＮＬｐ，即认为所有的必然命题为假；两个表达式都应被排斥，因为任何不能被断定的表达式就应该被排斥。
由此，我们得到两个补充的被排斥的公式：
P７。
Ｍｐ，即：ｐ是可能的——是被排斥的，和
①亚历山大，２０９。
２，“从实有的也可推出（作为真实的）可能的，但是，从可能的则不一定能推出实有的”。
②在第六至第八章中，被断定的表达式只不带星号的阿拉伯数字标志。
③亚历山大，１５２。
３２，“从必然的可推出实有的，但是，从实有的决推不出必然的。”
…… 205
３８。基本模态逻辑A ３９１
P８。
ＮＬｐ，即：ｐ不是必然的——是被排斥的。
两个公式都可称为亚里士多德的公式，因为它们都是从亚里士多德所允许的假定中推出来的结果，这个假定就是：存在着被断定的必然命题。
因为如果Ｌａ被断定，那末，ＬＮａ也应该被断定，而从邓斯司各脱原则ＣｐＣＮｐｑ，我们用代入法W和分离法得出断定的公式ＣＮＬαｐ和ＣＮＬＮαｐ。
由于ｐ是被排斥的，那末，ＮＬα和ＮＬＮα也是被排斥的，而结果，ＮＬｐ和ＮＬＮｐ，即Ｍｐ，也应该是被排斥的。
当且仅当一个系统满足公式１—８的时候，我称之为“基本的模态逻辑”
系统。
我已经表明过，基本的模态逻辑可以在古典命题演算的基础上予以公理化。
①两个模态函子Ｍ和Ｌ中，一个作为基本词项，而另一个则可由它来下定义。
取Ｍ为基本词项和公式２作为Ｌ的定义，我们就能得出基本模态逻辑的下列一组独立的公理：４。
ＣｐＭｐP５。
ＣＭｐｐP７。
Ｍｐ
９。
ＱＭｐＭＮＮｐ，这里公式９根据定义２和命题演算是与公式１演绎地等值的。
取Ｌ为基本词项和公式１作为Ｍ的定义，我们得出相应的一组公理：３。
ＣＬｐP６。
ＣｐＬｐP８。
ＮＬｐ
１０。
ＱＬｐＬＮｐ，这里公式１０根据定义１和命题演算是演绎地等值于公式２的。
推出的公式９和１０作为公理是必不可少的。
基本的模态逻辑是任何模态逻辑系统的基础，并且总必须包含在这类逻辑的任一系统之中。
公式１—８与亚里士多德
①参阅我关于模态逻辑的论文第１４—１１７页。
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４９１第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
的直觉相一致，并且成为我们关于必然性和可能性概念的基础。
但是它们并没有穷尽公认的全部模态定律。
例如，我们相信如果一个合取式是可能的，那末，它的每一个因子也必须是可能的，用符号表示就是：１。
ＣＭＫｐｑＭｐ和１２。
ＣＭＫｐｑＭｑ，而如果一个合取式是必然的，那末，它的每一个因子也必须是必然的，用符号表示就是：１３。
ＣＬＫｐｑＬｐ和１４。
ＣＬＫｐｑＬｑ。
这些公式的任何一个都不能从定律１—８推演出来。
基本模态逻辑是一个不完全的模态系统，因而需要补充若干新的公理。
让我们看看亚里士多德本人是怎样补充的。
３９。扩展定律A亚里士多德的最为重要，并且照我看来，最为成功的超出基本模态逻辑范围的尝试，在于他断定了某些可以称为“模态函子扩展定律”
的原则。
这些原则可以在《前分析篇》第１卷第１５章找到；它们在三个地方表述出来。
在这一章开始我们读到：“首先，我们必须说明：如果（如果α存在，则β必须存在）
，那末，（如果α是可能的，则β也必须是可能的）“。
①亚里士多德在几行之后又说（指他的三段论）
：“……如果用α标志前提，而用β标志结论，则不仅由此可以得出：如果α是必然的，则β是必然的，而且得出：如果
①《前分析篇》，ｉ。
１５，３４ａ５。
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３９。扩展定律A ５９１
α是可能的，则β是可能的。“
①
而在这一段结尾时他又重复说：“已经证明过，如果（如果α存在，则β存在）
，那末，（如果α是可能的，则β是可能的）。“
②
让我们首先从涉及三段论的第二段原文开始，来分析这些模态定律。
所有亚里士多德的三段论都是具有Ｃαβ形式的蕴涵式，这里α是两个前提的合取，而β是结论。
举Ｂａｒｂａｒａ式为例：１５。
ＣＫＡｂａＡｃｂ
Ａｃａ
α
β按照这第二段引文，我们得出两个具有蕴涵形式的模态定理，这个蕴涵式取Ｃαβ作为前件和取ＣＬαＬβ或ＣＭαＭβ作为后件，用符号表示就是：１６。
ＣαＣαβＬαＬβ和１７。
ＣαβＣＭαＭβ。
字母α和β在这里代表一个亚里士多德三段论的前提和结论。
由于最后一段引文没有涉及三段论，所以我们可以将这些定理看作一般原则的特殊情况，这个一般原则我们可以通过用命题变项去代替希腊字母得出：１８。
ＣｐｑＣＬｐＬｑ和１９。
ＣｐｑＣＭｐＭｑ。
两个公式都可以称为广义的“扩展定律”
，第一个是关于Ｌ的，第二个是关于Ｍ的。
这“广义”一词需要作些解释。
作为Ｓｅｎｓｕ
ｓｔｒｉｃｔｏ（严格意义）的一般扩展定律，乃是
①同上，３４ａ２。
②同上，３４ａ２９。
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６９１第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
一个通过引入变项函子而扩充的古典命题演算的公式，它具有下述形式：２０。
ＣＱｐｑＣδｐδｑ。
简略地说，这表示：如果ｐ等值于ｑ，那末，如果δ属于ｐ，那末δ也属于ｑ，这里δ是任一具有一个命题主目的命题构成函子，例如Ｎ。
相应地，关于Ｌ和Ｍ的严格的扩展定律将具有下述形式：２１。
ＣＱｐｑＣＬｐＬｑ和２。
ＣＱｐｑＣＭｐＭｑ。
这两个公式比公式１８和１９具有更强的前件，并且依靠命题ＣＱｐｑＣｐｑ和假言三段论的原则可以容易地从公式１８和１９推演出来（从１８推出２１，从１９推出２）。
但是，也可以证明，在命题演算和基本模态逻辑的基础上，反过来，从公式２１推演出公式１８，从公式２推演出公式１９。
我在这里对Ｌ公式给以一个完整的推演：前提：２３。
ＣＱｐｑｒＣｐＣｐｑｒ２４。
ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ２５。
ＣｐＣｑＣｐｒＣｑＣｐｒ３。
ＣＬｐ。
推演：
２３。
ｒＣＬｐＬｑ×Ｃ２１—２６＇２６。
ＣｐＣｐｑＣＬｐＬｑ
２４。
ｐＬｐ，ｑｐ，ｒＣＣｐｑＣＬｐＬｑ×Ｃ３—Ｃ２６—２７＇２７。
ＣＬｐＣｐｑＣＬｐＬｑ
２５。
ｐＬｐ，ｑＣｐｑ，ｒＬｑ×Ｃ２７—１８＇
…… 209
４０。亚里士多德对扩展的Ｍ－定律的证明A ７９１
１８。
ＣｐｑＣＬｐＬｑ依据前提ＣＣＱｐｑｒＣＮｑＣｐｑｒ，ＣＣｐｑＣｑｒＣｐｒ，ＣＣＮｐＣｑＣCｒｐＣｑＣｒｐ和模态断定命题ＣｐＭｐ的易位ＣＮＭ９Ｎｐ，同样可以从公式２推演出公式１９。
从上面所述，我们看到，给予了命题演算和基本模态逻辑，公式１８与严格的扩展定律２１是演绎地等值的，而公式１９与严格的扩展定律２是演绎地等值的。
因此，我们将这些公式称为“广义的扩展定律”是正确的。
自然，不管我们是通过补充ＣＣｐｑＣＬｐＬｑ或者是通过补充ＣＱｐｑＣＬｐＬｑ去完成基本模态逻辑的Ｌ系统，它们在逻辑上都是毫无区别的；另外将ＣｐｑＣＭｐＭｑ或者ＣＣｐｑＣＭｐＭｑ任选其一补充到Ｍ系统中去也是同样有效的。
但是就直观上说，其区别却很大。
公式１８和１９不象公式２１和２那样明显。
如果ｐ蕴涵ｑ，但是并不与它等值，那末，如果δ属于ｐ，则也属于ｑ，这却不是永真的；例如：ＣＮｐＮｑ就不能从Ｃｐｑ推演出来。
但是，如果ｐ与ｑ等值，那末总是，如果δ属于ｐ，则δ属于ｑ，即如果ｐ真，则ｑ也真，而如果ｐ假，则ｑ也假；同样，如果ｐ是必然的，则ｑ也是必然的，而如果ｐ是可能的则ｑ也是可能
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