亚里士多德的三段论-第18部分

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　　　　＇　　　　　　　　　　　＇因为对于所有的替换而言最后得出的都是１，所以易位律是我们系统的断定命题。

　　　　让我们举出表达式ＣＫｐＮｑｑ作为第二类的例子。

　　　　只要试一试一个替换就够了：

　　　　ｐ１，ｑ０：ＣＫ１Ｎ０＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。

　　　　＇这个替换最后得出了０，所以表达式ＣＫｐＮｑｑ是假的。

　　　　在亚里士多德三段论系统中作为辅助前提使用的所有演绎理论的断定命题，我们都可以用同样的方法加以检查。

……　132

　　　　０２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

　　　　２４。量词A亚里士多德没有量词的明确观念并且没有在他的著作中使用它们；因而我们不能把它们引入他的三段论系统。

　　　　但如我们所已经看到的，在他的系统中有两点，如果我们应用量词来解释的话，我们就能较好地理解它们。

　　　　全称量词与所谓“三段论的必然性”相联系，存在量词或特称量词与显示法证明相联系。

　　　　现在，我将把在第１９节述说的、用存在量词来作的证明以及在第５节提到的依赖全称量词的论证翻译为符号。

　　　　我用大写的希腊字母表示量词，用Ⅱ表示全称量词，而用后表示特称或存在量词。

　　　　Ⅱ可以读作“对于所有而言”

　　　　，^而可以读作“对于有些而言”或“有”

　　　　；例如ｃＫＡｃｂＡｃａ^的意思用语言说出来就是：“有一个ｃ使得所有ｃ是ｂ并且所有ｃ是ａ”

　　　　，或者更简短地说：“对于有些ｃ而言，所有ｃ是ｂ并且所有ｃ是ａ”。

　　　　每一个带量词的表达式，例如ｃＫＡｃｂＡｃａ，^包含三个部分：第一部分，在我们的例子中就是，总是一个^量词；第二部分，在这里就是ｃ，总是一个用前面的量词约束着的变项；第三部分，在这里就是ＫＡｃｂＡｃａ，总是一个命题表达式，它包含着恰好被量词当作自由变项约束起来了的变项。

　　　　由于把ｃ放在ＫＡｃｂＡｃａ之前，最后这个公式中的自由^变项ｃ就变成被约束的了。

　　　　我们可以简单地说：（第一部^分）约束ｃ（第二部分）于ＫＡｃｂＡｃａ（第三部分）之中。

　　　　存在量词的规则已经在第１９节中陈述过了。

　　　　在各导出行中，我用１表示允许我们把置于一个真蕴涵式的前件之前^　X的规则，并且２表示允许我们把置于一个真蕴涵式的后件^　X

……　133

　　　　２４。量　　词A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１２１

　　　　之前的规则。

　　　　以下的推导将是易于了解的。

　　　　因为它们都是第１９节中用文字作出的推导的翻译，相应的断定命题带有相同的番号（ｒｕｎｉｎｇ

　　　　ｎｕｍｂｅｒ）

　　　　，并且用相应的小写字母作为变项以代替大写字母。

　　　　Ｉ前提换位的证明：设定为真而不用证明的断定命题：（１）ＣＩａｂｃＫＡｃｂＡｃａ^（２）ＣｃＫＡｃｂＡｃａＩａｂ。

　　　　^断定命题（１）和（２）能用作Ⅰ前提的定义。

　　　　（３）ＣＫｐｑＫｑｐ（合取的交换律）

　　　　（３）ｐＡｃｂ，ｑＡｃａ×（４）

　　　　＇（４）ＣＫＡｃｂＡｃａＫＡｃａＡｃｂ（４）２ｃ×（５）

　　　　^（５）ＣＫＡｃｂＡｃａｃＫＡｃａＡｃｂ^（５）１ｃ×（６）

　　　　^（６）ＣｃＫＡｃｂＡｃａｃＫＡｃａＡｃｂ^Ｔ１。

　　　　ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ（假言三段论定律）

　　　　Ｔ１。

　　　　ｐＩａｂ，ｑｃＫＡｃｂＡｃａ，ｒｃＫＡｃａＡｃｂ×Ｃ＇　^　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　^（１）—Ｃ（６）—（７）

　　　　：（７）ＣＩａｂｃＫＡｃａＡｃｂ^（２）ｂａ，ａｂ×（８）

　　　　＇（８）ＣｃＫＡｃａＡｃｂＩｂａ^Ｔ１。

　　　　ｐＩａｂ，ｑｃＫＡｃａＡｃｂ，ｒＩｂａ×Ｃ（７）—Ｃ＇　^（８）—（９）

……　134

　　　　２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

　　　　（９）ＣＩａｂＩｂａ这些推导行表明，（４）与（８）仅用替换而从其它断定命题得到，而（７）与（９）乃用替换与两次分离而得到。

　　　　读者可按这种方式自己试作Ｄａｒａｐｔｉ式的证明，它是容易的。

　　　　Ｂｏｃａｒｄｏ式的证明（第１９节所用的变项Ｐ、Ｒ和Ｓ必须改换字母，因为相应的小写字母ｐ，ｒ和ｓ是用以表示命题变项的，把ｐ改写为ｄ，Ｒ改为ａ，Ｓ改为ｂ）

　　　　不加证明而设定的断定命题：（１５）ＣＯｂｄｃＫＡｃｂＥｃｄ^两个三段论取作前提：（１６）ＣＫＡｃｂＡｂａＡｃａ（Ｂａｒｂａｒａ）

　　　　（１７）ＣＫＡｃａＥｃｄＯａｄ（Ｆｅｌａｐｔｏｎ）

　　　　Ｔ６。

　　　　ＣＫｐｑｒＣＫｒｓｔＣＫｐｑｓｔ这就是人们认为由亚里士多德发现的“综合定理”。

　　　　Ｔ６。

　　　　ｐＡｃｂ，ｑＡｂａ，ｒＡｃａ，ｓＥｃｄ，ｔＯａｄ×Ｃ＇（１６）—Ｃ（１７）—（１８）

　　　　（１８）ＣＫＡｃｂＡｂａＥｃｄＯａｄＴ７。

　　　　ＣＫｐｑｒｓＣＫｐｒＣｑｓ（辅助断定命题）

　　　　Ｔ７。

　　　　ｐＡｃｄ，ｑＡｂａ，ｒＥｃｄ，ｓＯａｄ×Ｃ（１８）—＇（１９）

　　　　（１９）ＣＫＡｃｂＥｃｄＣＡｂａＯａｄ（１９）１ｃ×（２０）

　　　　^（２０）ＣｃＫＡｃｂＥｃｄＣＡｂａＯａｄ^

……　135

　　　　２４。量　　词A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３２１

　　　　Ｔ１。

　　　　ＣｐｑＣｑｒＣｐｒＴ１。

　　　　ｐＯｂｄ，ｑｃＫＡｃｂＥｃｄ，ｒＣＡｂａＯａｄ×Ｃ＇　^（１５）—Ｃ（２０）—（２１）

　　　　（２１）ＣＯｂｄＣＡｂａＯａｄ这就是Ｂｏｃａｒｄｏ式的蕴涵形式。

　　　　如果我们希望有这个式的通常的合取形式，我们必须应用所谓输入律（ｌａｗ

　　　　ｏｆ

　　　　ｉｍｐｏｒCｔａｔｉｏｎ）

　　　　：Ｔ８。

　　　　ＣｐＣｑｒＣＫｐｑｒ于（２１）

　　　　，我们得到：

　　　　Ｔ８。

　　　　ｐＯｂｄ，ｑＡｂａ，ｒＯａｄ×Ｃ（２１）—（２）

　　　　＇（２）ＣＫＯｂｄＡｂａＯａｄ（Ｂｏｃａｒｄｏ）。

　　　　用所谓输出律（ｌａｗ

　　　　ｏｆ

　　　　ｅｘｐｏｒｔａｔｉｏｎ）

　　　　Ｔ９。

　　　　ＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ。

　　　　（它是输入律的转换）

　　　　，我们可以从Ｂｏｃａｒｄｏ式的合取形式倒退回去得到它的蕴涵形式。

　　　　全称量词的规则与第１９节陈述的特称量词的规则是相似的。

　　　　全称量词能够无条件地放在真蕴涵式的前件的前面，以约束出现于前件中的自由变项。

　　　　只有满足这样的条件，即在后件中被约束的变项不在前件中作为自由变项出现时，才可以在真蕴涵式的后件之前加上全称量词。

　　　　我用１，表示这个规则_的头一条，用２表示第二条。

　　　　_从以上全称量词的原始规则，得到两条导出规则：第一，（从规则２及简化定律）

　　　　一个真表达式，在约束出现于其中的_自由变项时，允许把全称量词置于它的前面；第二，（从规则１及命题的同一律）

　　　　，允许消掉位于真表达式之前的全称X

……　136

　　　　４２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

　　　　量词。

　　　　这些规则怎样可以导出，我将用Ⅰ前提的换位律为例来加以说明。

　　　　从换位律：（９）ＣＩａｂＩｂａ就得到量化了的表达式（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ‘而从量化了的表达式（２６）又得到非量化的换位律（９）。

　　　　首先，从（９）到（２６）

　　　　Ｔ１０。

　　　　ＣｐＣｑｐ（简化定律）

　　　　Ｔ１０。

　　　　ｐＣＩａｂＩｂａ×Ｃ（９）—（２３）

　　　　＇（２３）ＣｑＣＩａｂＩｂａ应用规则２于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ，因为ｂ_与ａ都不在前件中出现：（２３）２ｂ×（２４）

　　　　‘（２４）ＣｑｂＣＩａｂＩｂａ‘（２４）２ａ×（２５）

　　　　‘（２５）ＣｑａｂＣＩａｂＩｂａ‘（２５）ｑＣｐＣｑ×ＣＴ１０－（２６）

　　　　＇（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ‘其次：从（２６）到（９）。

　　　　Ｔ５Ｃｐｐ（同一律）

　　　　Ｔ５。

　　　　ｐＣＩａｂＩｂａ×（２７）

　　　　＇（２７）ＣＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ我们应用规则１于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ：_（２７）１ｂ×（２８）

　　　　‘

……　137

　　　　２５。三段论系统的基本要素A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５２１

　　　　（２８）ＣｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ‘（２８）１ａ×（２９）

　　　　‘（２９）ＣａｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ‘（２９）×Ｃ（２６）—（９）

　　　　（９）ＣＩａｂＩｂａ亚里士多德断定：“如果有些ａ是ｂ，那么，有些ｂ应是ａ就是必然的”

　　　　，依我看，“就是必然的”这表达词只能有这个意思：要找到变项ａ和ｂ的那样的值，它会确证前件而不能确证后件，那是不可能的。

　　　　换句话说，那就是指“对于所有ａ与所有ｂ而言，如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ。”这就是我们的量化的断定命题（２６）。

　　　　这个断定命题与非量化的换位律“如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ”

　　　　（它不包含必然性的记号）

　　　　是等值的，这是已经证明了的。

　　　　由于三段论的必然性是与全称量词等价的，所以它可以被省略，因为一个全称量词在真公式之前是可以省略的。

　　　　２５。三段论系统的基本要素A每一个公理化的演绎系统都以三项基本要素为基础：原始词项，公理，和推论规则。

　　　　我从对断定的表达式而言的基本要素开始，对排斥的表达式而言的基本要素将于以后给出。

　　　　我取常项Ａ和Ｉ为原始词项，用它们来定义其它两个常项Ｅ和Ｏ：

　　　　Ｄｆ１

　　　　Ｅａｂ＝ＮＩａｂ

　　　　ｆ２

　　　　Ｏａｂ＝ＮＡａｂ。

　　　　为了把证明缩短我将使用下面的两条推论规则来代替上述定

……　138

　　　　６２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

　　　　义：规则ＲＥ：ＮＩ在任何地方均可用Ｅ去替换，反之亦然。

　　　　规则ＲＯ：ＮＡ在任何地方均可用Ｏ去替换，反之亦然。

　　　　当作公理来断定的这个系统的四条断定命题就是两条同一律和Ｂａｒｂａｒａ式及Ｄａｔｉｓｉ式：１。

　　　　Ａａ２。

　　　　Ｉａ３。

　　　　ＣＫＡｂｃＡａｂＡａｃ（Ｂａｒｂａｒａ）

　　　　４。

　　　　ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ（Ｄａｔｉｓｉ）。

　　　　除了规则ＲＥ与ＲＯ之外，我采用以下两条对于断定的表达式的推论规则：（ａ）代入规则：如果ａ是这一系统的一个断定的表达式，那么，用正确的代入从α得出的任何表达式也是一个断定的表达式。

　　　　唯一正确的代入是对词项变项ａ，ｂ，ｃ，代以其它的词项变项，如以ｂ代ａ。

　　　　（ｂ）分离规则：如果Ｃαβ与α都是这系统的断定的表达式，那么β也是断定的表达式。

　　　　我采取带有被定义的函子Ｋ的演绎理论的Ｃ—Ｎ系统，作为辅助理论。

　　　　命题变项可以代之以三段论的命题表达式，如Ａａｂ，Ｉａｃ，ＫＥｂｃＡａｂ，等等。

　　　　在所有以后的证明中（并且也对排斥的表达式）我将只用下面十四条用罗马数字指明的断定命题：Ⅰ。

　　　　ＣｐＣｑｐ（简化定律）

　　　　Ⅱ。

　　　　ＣｑｒＣｐｑＣｐｒ（假言三段论定律、第二个形式）

　　　　Ⅲ。

　　　　ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ（分配律）

……　139

　　　　２５。三段论系统的基本要素A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７２１

　　　　Ⅳ。

　　　　ＣｐＣＮｐｑ（邓斯司各脱定律）

　　　　WⅤ。

　　　　ＣＮｐｐ（克拉维乌斯定律）

　　　　Ⅵ。

　　　　ＣｐｑＣＮｑＮｐ（易位律）

　　　　Ⅶ。

　　　　ＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ（输出律）。电子书

　　　　Ⅷ。

　　　　ＣｐＣＫｐｑｒＣｑｒⅨ。

　　　　ＣｓｐＣＫｐｑｒＣＫｓｑｒⅩ。

　　　　ＣＫｐｑｒＣｓｑＣＫｐｓｒⅪ。

　　　　ＣｒｓＣＫｐｑｒＣＫｑｐｓＸＩ。

　　　　ＣＫｐｑｒＣＫｐＮｒＮｑＸＩ。

　　　　ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐＸＩＶ。

　　　　ＣＫｐＮｑＮｒＣＫｐｒｑ断定命题Ⅷ是输出律的一个形式，断定命题Ⅸ—Ⅺ都是复合的假言三段论定律，而Ⅻ—是复杂的易位律。

　　　　所有这些，用第２３节所说的０—１方法，都是易于验证的。

　　　　断定命题Ⅳ、Ⅴ与Ⅱ、Ⅲ一起给出全部Ｃ—Ｎ系统，但Ⅳ、Ⅴ只是对排斥的表达式的证明才是需要的。

　　　　公理１—４的系统是一致的，也就是说是无矛盾的。

　　　　无矛盾性的最容易的证明是把词项变项当作命题变项，以及把函项Ａ和Ｉ定义为常真（即令Ａａｂ＝Ｉａｂ＝ＫＣａＣｂ）

　　　　而作出的。

　　　　于是公理１—４作为演绎理论的断定命题都是真的，而且已知这演绎理论是无矛盾的，所以三段论系统也是无矛盾的。

　　　　我们系统的所有公理都是彼此独立的。

　　　　这一点的证明可以用演绎理论范围内的解释来作出。

　　　　在后面的解释中，词项变项作为命题变项处理。

　　　　公理１的独立性：取Ｋ代替Ａ，取Ｃ代替Ｉ，公理１就不

……　140

　　　　８２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

　　　　能确证了，因为Ａａ＝Ｋａ，而Ｋａａ在ａ０时，得出０。

　　　　如同用＇０—１方法所能看出的那样，其它公理均可确证。

　　　　公理２的独立性：取Ｃ代替Ａ，与Ｋ代替Ｉ，公理２就不能确证了，因为Ｉａ＝Ｋａ。

　　　　其它公理均可确证。

　　　　公理４的独立性：取Ｃ代替Ａ与Ｉ，公理４就不能确证了，因为ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ＝ＣＫＣｂｃＣｂａＣａｃ在ｂ０，ａ１，ｃ０时，它＇　　　　　　　　＇　　　　　　　　＇得出０其它均可确证。

　　　　公理３的独立性：在只有０与１二值的演绎理论的基础上证明这条公理的独立性是不可能的。

　　　　我们必须引入第三个真值，令其为２，它可看作是代表真，亦即１的另一个符号。

　　　　对于第２３节所作出的Ｃ，Ｎ和Ｋ的诸等值式，我们还要加上下面这些公式：Ｃ０２＝Ｃ１２＝Ｃ２１＝Ｃ２＝１。

　　　　Ｃ２０＝０，Ｎ２＝０，Ｋ０２＝Ｋ２０＝０，Ｋ１２＝Ｋ２１＝Ｋ２＝１。

　　　　在这些条件下，所有Ｃ—Ｎ系统的断定命题都可确证，这能很容易地表明。

　　　　让我们现在把Ｉａｂ定义为常真的函项，亦即对于ａ与ｂ的所有的值而言，Ｉａｂ＝１，而把Ａａｂ定义为具有以下诸值的函项：Ａａ＝１，Ａ０１＝Ａ１２＝１，以及Ａ０２＝０（其余均无关）。

　　　　公理１，２与４都可确证，但从公理３用代入ｂ１，ｃ２，ａ０我们得＇到：ＣＫＡ１２Ａ０１Ａ０２＝ＣＫ１０＝