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女士品茶-第3部分
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分布与参数
有了这个计算相关的公式，高尔顿实际上已经非常接近新的革命性观念了，这个观念革命在20世纪几乎修正了所有的学科。但却是他的弟子K？皮尔逊，在非常完整的意义上第一个规范地阐明了这个观念。
为了理解这个革命性的观念，你必须将已有的关于科学的成见抛开。通常我们被教导，科学就是测量，我们进行精心的测量，并用它来寻找描述自然的数学公式。在高中的物理课中我们学过，当时间给定时，一个自由落体的运行将遵循一个含有符号“g”的公式，这里的“g”是关于重力加速度的常量。我们学过可以用来确定“g”的值的实验。然而，当高中生们进行一系列确定值的实验时，顺着斜板滚动小球，并测量小球需要多长时间到达不同的位置时，发生了什么呢？这就是很少得出确切的结果。学生进行实验的时间越长，困惑就越多，因为不同的实验得出了不同的“g”值。老师仅凭自己优越的知识来审视学生的实验，并认定学生之所以得不到正确的结果，要么是因为工作草率，要么是因为不够细致，要么是抄错了数据。
老师没有告诉学生的是：所有的实验都是草率的，并且，即使是最精心的科学家，也很少得到确切的数值。不可预见和不可观察的小扰动在每一个实验中都有：室内的空气可能太潮湿，或者落体在滚动前卡住了一个微秒，旁边飞过的蝴蝶可能会有其影响：造成气流的轻微扰动。人们从一个实验中真正得到的是散乱的数据，其中没有一个单个数据是确切的，但所有这些数据可以用来对确切值进行近似的估计。
武装了K？皮尔逊的革命性观念，我们就不再将实验结果看作精心测量得出的数据，它们也不是本来就确切的，用更容易接受的术语来代替：它们是一组散布数据，或一个数据分布中的样本。数据的分布可以写成数学公式，它告诉我的数值是不可预测的，我们只能谈论概率值而不是确定值，单个实验的结果是随机的，在这个意义上看它们是不可预测的，然而，分布的统计模型却使我们能够描述这种随机的数学性质。
科学家花了一些时间才认识到观测值所固有的随机性质。在18和19世纪，天文学家和物理学家创造出描述他们观察值的数学公式，达到了可接受的精确程度，在为测量工具不够精确，所以观察值与预测值之间的是预料之中的，可以忽略不计。星体和其它天体的运动被假定遵循运动基本公式所确定的精确路径，其不确定性是由于简陋的测量工具造成的，并不是其固有的性质。
随着物理学中更为精确的测量工具的发展，随着将这种测量科学扩展到生物学和社会学的尝试，大自然所固有的随机性越来越明显了。怎么处理它？一种办法是坚持数学公式的精确性，将观测值与预测值之间的离差视为小的、无关紧要的误差。事实上，早在1820年，拉普拉斯的数学论文描述了第一个概率分布，即误差分布，那是一个与这些小的、无关紧要的误差相联系的概率的数学公式。这个误差分布以钟形曲线（bellshaped curve）或正态分布（the normal distribution ）的说法进入了大众的词汇。
这使K？皮尔逊比正态分布或误差分布更进了一步，审视生物学中积累的数据。K？皮尔逊认为，测量值本身，而不是测量的误差，就具有一种正态分布。我们所测量的，实际上是随机散布的一部分，它们的概率通过数学函数——分布函数被描述出来。K？皮尔逊发现了被他称为“偏斜分布”（skew distribution）的一组分布函数，他宣称，这组函数可以描述科学家在数据中可能遇到的任何散布类型，这组函数中的每一个分布由四个数字所确定。
用来确定分布函数的这些数字与测量中的数字不属于同一类型，这些数字决不会被观察到的，但可以从观测值散布的方式中推导出来。这些数字后来被称为参数（parameters——源自希腊语，意思是“几乎测量”（almost measurements））。能够完整地描述K？皮尔逊体系中数字的四个参数分别被称为：
1。 平均数（the mean）——测量值散布状态的中间值；
2。 标准差（the standard deviation）——测量值的散布与平均值偏离有多远；
3。 对称性（symmetry）——测量值在平均值一侧规程的程度；
4。 峰度（kurtosis）——个别的观测值偏离平均值有多远。
用K？皮尔逊偏斜分布体系去考虑问题，思路会有一种微妙的转移。在K？皮尔逊之前，科学所处理的事情都是真实的。开普勒试图发现行星如何在空间运行的数学规律；威廉？哈维的实验打算确定血液如何在某一特定动物的静脉和动脉中游动；化学则处理元素和由元素组成的化合物。然而，开普勒所试图追踪的“行星”实际上是一组数据，用来给地球上的观测者所看到的天空中微弱的光点定位。单匹马身上血液通过静脉流动的实际情形，也许与在另一匹马或者一个人身上所可能看到的不同。没有人能够生产出纯铁的样本，尽管谁都知道铁是一种元素。
K？皮尔逊提出，这些观测到的现象只是一种随机的映像，不是真实的，所谓的真实是概率分布。科学中真实的东西并不是我们所能观测到或能把握到的，它们只是通过用来描述我们所观测事物随机性的数学函数来反应。科学调查中我们真正想确定的，是分布的四个参数。从某种意义上说，我们永远不能确定这四个参数的真实数值，而只可能从资料中估计它们。
K？皮尔逊并没有意识到这关键的一点，他以为，如果我们能够搜集到足够的数据去估计参数，就会得到参数的真实数值。而他的年轻对手费歇尔指出，K？皮尔逊的许多估计方法并不是最优的，在20世纪30年代末期，当K？皮尔逊临近他漫长生命的终点之际，一位杰出的波兰年轻数学家耶日？奈曼（Jerzy Neyman）表明，K？皮尔逊的偏斜分布体系并没有包含所有可能存在的分布，许多重要问题不能用K？皮尔逊的体系解决。
还是让我们离开1934年那个被离弃的老皮尔逊吧。回到他三四十岁、精力充沛的时期，那时的他对自己所发现的偏斜分布充满了热情。1897年，他接管了高尔顿在伦敦的生物统计实验室，带领一支年轻的娘子军（被称为“计算员”），计算高尔顿所积累的人种测量数据的分布参数。在20世纪之交，高尔顿、K？皮尔逊和R？韦尔登（Rerhael Weldon）共同努力，创办了一个新的科学期刊，这将使K？皮尔逊的观点应用到生物数据上。高尔顿用他的个人财富建立了一个信托基金支持这个期刊。在第一期，编辑们提出了一个雄心勃勃的计划。
生物统计计划
当时，英国科学家中有一位杰出的人物，他就是达尔文，同期的科学家们致力于探索达尔文富有洞察力的见解，高尔顿、K？皮尔逊和韦尔登便是其中相当热心的骨干。达尔文的进化理论认为，生命形式随着环境压力而变化，他提出，变化的环境会给更适应新环境的随机变化提供些许的优势，渐渐地，伴随着环境改变和生命形式继续发生随机转变，新物种将会出现并且更适于在新的环境中生存和繁殖。这一思想被简称为“适者生存”（survival of the fittest）。当恣意妄行的政治学家将其用于社会生活，宣称那些在经济竞争中取得胜利的富人比身陷贫困的穷人更为适于生存时，这一理论对社会就有不好的影响——适者生存理论成了猖狂的资本主义的辩护者，在那里，富人被授予了道义上的特权去鄙视穷人。
在生物科学中，达尔文的思想似乎很有道理。达尔文可以指出相关物种的相似性，作为现代物种从先前物种演化而来的佐证。达尔文表明，物种上些许不同的小型鸟类，即使是生活在孤岛上，也有许多解剖学上的共性。他指出，不同物种胚胎之间的相似性，这包括人类的胚胎，在开始是有尾巴的。
有一件事是达尔文做不到的，那就是他不能给出人类历史的时间框架中，新物种实际出现的例子。达尔文设定新物种由于适者生存而出现，但没有证据，他不得不做的只是展示现代物种很好地适应了它们所处的环境。达尔文的说法似乎只是表明了已知的事情，而且理论本身有一个很吸引人的逻辑结构，但是如果套用犹太人的一句老话就是“举例并不是证明”（For instance is no proof）。
K？皮尔逊、高尔顿和韦尔登打算在他们的新期刊中将这事搞清楚。在K？皮尔逊看来，只有概率分布是真实的，达尔文的雀鸟（他在书中用到的一个重要例子）并不是科学调查的对象，而某一种雀鸟的总体随机分布才是这个对象。对某一给定雀鸟种类而言，如果能够测量其全体的喙长，这些喙长的分布函数将有四个参数，这四个参数将是这一种雀鸟的喙长。
K？皮尔逊说，假如存在着某种环境力量，通过提供优越的生存能力，使得某一物种产生某种特定的随机变化，我们也许不能生存得那么久，以看到新物种的出现，但我们能够看到分布的上个参数的变化。在他们期刊的创刊号上，三位编辑宣布：他们的新期刊将从全世界搜集数据，以确定这些分布的参数。最终期望表明，样本参数的变化与环境变化相关。
他们将新期刊定名为《生物统计》（Biometrika），高尔顿创建的生物统计基金会给予它慷慨资助。由于资金是这样地充裕，以至于该期刊成为世界上第一本印有全彩照片的期刊，甚至还带着画有复杂图画的下班纸折页。期刊以高品质的优质纸印刷，连最复杂的数学公式也展示了出来，尽管那意味着极端复杂和昂贵的排版工艺。
接下来的25年里，《生物统计》发表了通讯员们从各地发来的数据：有的深入非洲的丛林，测量原住民的胫骨和腓骨；有的从中美洲的雨林抓到奇特的热带鸟类，测量其喙长；还有的甚至偷盗古墓，揭开死人头盖骨灌铅，以测量其脑的容量。在1910年，该期刊发表了几幅全彩照片，画面是俾格米男人裸躺在地上，的生殖器旁还摆着量尺。
在1921年，一个年轻的女通讯员朱莉亚？贝尔（Julia Bell）描述了她在试图对阿尔巴尼亚新兵进行人类形体测量时所遇到的困难。她离开维也纳去阿尔巴尼亚一个边远的基地，本以为可以得到讲德语军官的帮忙，当她抵达时才发出，那里只有一个士官能说三句德语。她无所畏惧地拿出了测量所用的铜标尺，通过形体动作让那些年轻人理解她要干什么，直到他们按要求抬起手臂和脚。
对每一组这样的数据，K？皮尔逊和他的计算员们都计算出分布的四个参数，论文将展示最佳分布的图示，并评论该分布与其它相关数据的分布有何不同。回顾过去，很难看出所有这些行动怎样帮助证明了达尔文的理论。浏览《生物统计》的这些作品，我得到这样一种印象：这些工作不久就变成为自身原因而进行努力，除了给特定数据组估计参数外，没有实际目的。
在期刊中还夹杂着其它类型的论文，其中一些涉及理论数学，以处理发展概率分布时遇到的问题。比如在1908年，一个不知姓名的作者，以“学生”（“student”）为笔名发表了论文，提出了后来几乎在所有现代科学工作中都有作用的研究成果——“学生”的“t检验”。接下来的几章我们还会遇到这位匿名的作者，并将讨论他在K？皮尔逊与费歇尔之间作调解时的不幸角色。
高尔顿死于1911年，而韦尔登则于这之前死于阿尔卑斯山的一次滑雪事故。只剩下了K？皮尔逊这唯一的编辑和信托基金的支配者。在接下来的20年中，期刊成了K？皮尔逊个人的了，期刊发表什么完全以K？皮尔逊的判断为准，由他确定重要与否。K？皮尔逊为期刊写了很多社论，他让自己丰富的想象驰骋在各个领域。比如，在对一个古老的爱尔兰教堂翻修时，墙壁中发现了一副骨骼，K？皮尔逊通过对这些骨骼的测量和所涉及的数学推理，来确定它们事实上是不是某个中世纪圣徒的遗骨。再比如，一个据称是奥利弗？克伦威尔（Oliver Cromwell）的头骨被发现了，K？皮尔逊以一篇精彩的文章对其进行了研究。该文描述了所知的克伦威尔尸体的下落，并且还将对克伦威尔画像所做的测量结果和该头骨 所做的测量进行了比较。在另外一些论文中，K？皮尔逊检验了古罗马各君主的统治期和贵族阶级的没落，还涉猎了社会学、政治学和植物学。所有这些，都带有复杂的数学解释。
就在去世之前，K？皮尔逊还发表了一篇题为“论犹太人与非犹太人关系”（On Jewish – Genlile Relationships）的短文。文中他分析了从世界各地收集到的犹太人与非犹太人的人体测量数据，最后得出的结论是：德国国家社会主义（the National Socialists）（正式的名称是纳粹（Nazis））的种族理论纯粹是胡说八道，根本就没有犹太种族（Jewish race）或亚利安种族（Aryan race）那回事。这最后一篇论文与他以前的工作一样，组织清晰，有逻辑性，推理谨慎。
K？皮尔逊运用数学研究了人类思想的许多领域，而很少有人将这些领域视为科学的正宗地盘。浏览生物统计上他所写的社论，你仿佛看到了一个兴趣十分广泛的人，他具有直切问题核心的惊人能力，并能用数学模型去加以处理。还有浏览这些社论，你就像遇上一个意志坚定、主见鲜明的人。说实话，如果不需要与他争辩的话，我想我是很乐意与K？皮尔逊共处一天的。
K？皮尔逊他们是否证明了达尔文适者生存的进化论理论呢？也许是吧。通过将古墓中头骨的容量分布与现代男女的比较，他们设法证明：经历了几千年深化的人类种群保持了相当的稳定。他们表明：对澳洲原住民的人类学测量与对欧洲人的测量结果有着相同的分布，据此，他们推翻了某些澳洲人关于原住民不是人类的断言。K？皮尔逊从这些工作中发展了一种被称为“拟合优度检验“（goodness of fit test）的基本统计工具，这是现代科学所不可缺少的。它使科学家能够确定一组给定的观测值是否适合于某一特定的数学分布函数。在第10章我们会看到，K？皮尔逊的儿子E？皮尔逊（Eqon Pearson），是如何用这种拟合度检验是否定他父亲所完成的许多项工作的。
随着20世纪的来临，《生物统计》中讨论数理统计理论问题的文章越来越多，少量的文章仍停留在处理特定数据的分布。当K？皮尔逊的儿子E？皮尔逊接班成为编辑时，期刊的性质就完全转型为理论数学了。时至今天，《生物统计》仍是这个领域中卓越的刊物。
但他们到底有没有证明适者生存这个说法呢？20世纪初曾经有一个最接近的研究。韦尔登构想了一项宏大的实验：18世纪英格兰南部瓷器工厂的发展，导致了一些河道被粘土淤塞，普利茅斯（Plymouth）港和达特茅斯（Dartmouth）港也都受到了影响，近陆地区比近海地区淤得更为严重。韦尔登从这些港口抓了几百只螃蟹，分别放入广口瓶中，其中一半用内港的淤泥水，另一半用外港的较干净的水。一段时间后仍有螃蟹存活，韦尔登测量它们的壳，以确定两组螃蟹的分布参数。
正像达尔文所预言的那样，淤泥水中戚的螃蟹在分布参数上有了变化！这是不是证明了进化论呢？不幸的是，韦尔登在写出实验结果前就死了，K？皮尔逊对数据进行了粗略的分析，他描述了这个实验及其结果，但最后的分析却始终没有搞�
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